Ringkasan Materi MTK Kelas 9 Semester 1

Berhubungan dengan lambang yang tidak terbaca pada post ini, silahkan download versi ms. word nya (lambang terbaca)

https://www.dropbox.com/s/e4397201wx6mhmn/MTK.docx?dl=0

Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

A.   Bilangan Berpangkat

Adalah perkalian suatu bilangan secara berurutan dengan bilangan itu sendiri.

Bentuk umum :

Aⁿ = a x a x a x a x …x a = b

Dengan a = bilangan pokok, n = pangkat dan b = hasil perpangkatan.

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Berdasarkan bentuk umum dari bilangan berpangkat dengan a,b Maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

1.    a^m.aⁿ = a^m+n

2.   a^m/aⁿ= a^m-n

3.   (a^m)ⁿ  = a^m-n

4.   (a x b)^m = a^m.b^m

5.   (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

6.   a = 1

7.   a^1/n =

8.   a^m/n = (a^1/n)^m  = ^m

9.   a^-n = 1/aⁿ atau aⁿ = 1/a^-n

B.   Akar

Perhatikan : 2³ = 8 dan 3² = 9

Pada bentuk 2³ = 8 dapat dikatakan bahwa 2 adalah akar pangkat 3 dari 8, demikian pula bentuk 3² = 9 dapat dikatakan bahwa 3 adalah akar pangkat 2 dari 9 dan ditulis   = 3.

Jika a dan b bilangan bulat aⁿ = b maka a adalah akar pangkat n dari b dan ditulis a = .

Sifat Bentuk Akar

ⁿ x ⁿ  = ⁿ

ⁿ / n =

Bilangan Berpangkat Rasional

Cara menyatakan akar dalam bentuk bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut :

Bentuk akar ^mm dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat pecahan yaitu a ^m/n.

Sifat-sifat bilangan berpangkat antara lain :

^1.        a^1/n x b^1/n =  x  =  = (ab)^1/n

^2.        a^1/n : b^1/n =  = (a/b)^1/n

^3.        (a^1/n) = ⁿ = a

^4.        a^-m/n = 1/a^m/n =1/^m

Pola, Barisan, dan Deret

Pola bilangan dapat diartikan sebagai susunan bilangan yang memiliki keteraturan. Pada matematika dikenal beberapa jenis pola yaitu sebagai berikut :

1.    Pola Bilangan Ganjil

Adalah 1,3,5,7,…

Rumus urutan ke-n dari suatu pola bilangan ganjil adalah 2n-1 dengan  bilangan asli.

Contoh :

 n =1, urutan ke 1 = 2(1) -1 = 1

n = 2, urutan ke 2 = 2(2) -1 = 3

n = 3, urutan ke 3 = 2(3) -1 = 5

Jumlah dari n bilangan ganjil pertama adalah n²  n bilangan asli.

Contoh :

1+3+5+7+9…

n = 5

n² = 5² = 25

2.    Pola Bilangan Genap

Adalah 2,4,6,8,…

Rumus urutan ke n dari suatu pola bilangan genap adalah 2n dengan n bilangan asli. Contoh :

n = 1, urutan ke 1 = 2(1) = 1

n = 2, urutan ke 2 = 2(2) = 4

n = 3, urutan ke 3 = 2(3) = 6

Jumlah dari n bilangan genap pertama adalah n(n+1) dengan n  bilangan asli. Contoh :

Hitung hasil dari 2+4+6+8+10+12

Jawab :

n = 6

n (n+1) = 6 (6+1)

              = 6(7) = 42

3.    Pola Bilangan Segitiga

Adalah 1,3,6,10,…

Gambar pola segitiga

Rumus urutan ke n dari suatu pola bilangan segitiga adalah n (n+1) :2 dengan n          
             bilangan asli. Contoh :

n  =1, urutan ke 1 = 1(1+1) : 2 = 1

n  =2, urutan ke 2 = 2(2+1) : 2 = 3

n  =3, urutan ke 3 = 3(3+1) : 2 = 6

4.    Pola Bilangan Persegi

Adalah 1,4,9,16,…

Gambar pola bilangan persegi

Rumus urutan ke n dari pola bilangan persegi adalah n² dengan n bilangan asli.

Contoh :  

Tuliskan pola bilangan persegi pada suku ke 10.

Jawab :

n = 10

n² = 10²

n = 100

5.    Pola Bilangan Persegi Panjang

Adalah 2,6,12,20,…

Gambar pola bilangan persegi panjang

Rumus urutan ke n dari pola bilangan persegi panjang adalah n(n+1) dengan n  bilangan asli.

Contoh :

n = 1, urutan ke 1 = 1(1+1) =  2

n = 2, urutan ke 2 = 2(2+1) =  6

n = 3, urutan ke 3 = 3(3+1) = 12

n = 4, urutan ke 4 = 4(4+1) = 20

6.    Pola Bilangan Segitiga Pascal

Adalah sebagai berikut ini

Rumus urutan jumlah bilangan baris ke n pada pola bilangan segitiga pascal adalah 2^n-1 dengan n bilangan asli.

Contoh :

n = 1, urutan ke 1 = 2^1-1 = 2⁰ = 1

n = 2, urutan ke 2 = 2^2-1 = 2¹  = 2

n = 3, urutan ke 3 = 2^3-1 = 2² = 4

n = 4, urutan ke 4 = 2^4-1 = 2³ = 8

Barisan Bilangan

Diperoleh dengan cara mengurutkan bilangan-bilangan dengan aturan tertentu. Barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk U₁ ,U₂,U₃,U₄,…U_n dengan U₁ sebagai suku pertama,  U₂ sebagai suku ke 2 dan seterusnya.

Suku ke n suatu barisan bilangan

1.    Aturan pembentuk barisan ditambah bilangan yang sama

Barisan bilangan : U₁,U₂,U_3,U₄,...U_n (U₁ ke U₂ ditambah b, U₂ke U₃  ditambah b, dan seterusnya)

Rumus suku ke n adalah U_n = b x n + t atau U_n = b x n -…

2.    Aturan Pembentuk Barisan dikalikan bilangan yang sama

Barisan bilangannya : U₁,U₂,U₃,U₄,…U_n (U₁ ke U₂ dikali p,U₂ ke U₃ dikali p, dan seterusnya)

Rumus suku ke n = p^…

Barisan Aritmetika

Adalah barisan dengan selisih antara 2 suku yang berurutan selalu tetap.

Barisan aritmetika : U₁,U_2,U₃,U₄,…

                   Contoh : 2,4,6,8

Deret aritmetika = U₁ + U₂ + U₃ + U₄

                   Contoh = 2+4+6+8

Rumus suku ke n untuk deret dan barisan aritmetika

U_n = U₁ + (n-1) b

Keterangan :

U₁ = suku pertama

U_n = suku ke n

n = banyak suku

b = U_n+1- U₁

b = beda

Suku Tengah suatu Deret Aritmetika

Terletak di tengah-tengah U₁ dan U_n  dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus berikut :

U_t= U₁ + U_n  : 2

Dengan U_t = suku tengah, U₁ = suku pertama dan U_n = suku ke n

Sisipan pada Deret Aritmetika

Adalah menambahkan beberapa buah bilangan di antara 2 suku yang berurutan pada suatu deret aritmetika sehingga terjadi deret aritmetika yang baru.

Deret mula-mula                       = 4          +13             +22+…

Deret baru setelah disisipkan = 4+7+10+13+16+19+22+… 

Beda Deret Baru

Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b₁ dan dapat ditentukan dengan rumus :

b₁ =

dengan b₁ = beda pada deret baru, b = beda deret mula-mula dan k = banyak bilangan yang disisipkan.

Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika

Dapat ditentukan dengan rumus :

S_n =  (2U₁ + (n-1)b)

S_n = jumlah n suku pertama

Deret Geometri

Adalah deret dengan rasio antar 2 suku yang berurutan selalu tetap.

Deret U₁+U₂+U₃+U₄+…+U_n disebut deret geometri atau deret ukur jika hasil dari  selalu tetap atau sama.

Hasil dari  dan seterusnya disebut rasio.

Pada deret geometri jika U_n + 1 > U_n maka disebut deret geometri naik, dan jika U_n+1 < U_n maka deretnya disebut deret geometri turun.

Rumus Suku ke n Deret Geometri

U_n = U₁ x r^n-1

Dengan U_n = suku ke n, U₁ = suku pertama, n = banyak suku dan r = rasio.

Suku Tengah Deret Geometri

Terletak di tengah-tengah antara U₁ dan U_n dengan banyak suku ganjil.

Suku tengah dapat ditentukan dengan rumus :

U_t =  

Dengan U_t = suku tengah, U₁ = suku pertama, dan U_n = suku ke n

Sisipan pada Deret Geometri

Adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara 2 suku yang berurutan sehingga terjadi deret geometri yang baru.

Rasio deret baru (r₁) setelah disisipkan beberapa buah bilangan diantara x dan y dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

r₁ =   Jika banyak suku yang disisipkan genap

r₁  = Jika banyak suku yang disisipkan ganjil

dengan r₁ = rasio pada deret baru, k = banyak bilangan yang disisipkan, dan x&y = suku mula-mula.

Jumlah n Suku PertamaDeret Geometri

S_n =  atau S_n =

Dengan S_n = jumlah n suku pertama, U₁ = suku pertama, r = rasio, dan n = banyak suku.

Deret Geometri Turun Tak Hingga

Jumlah suku-suku deret geometri turun tak hingga dapat ditentukan dengan rumus :

S_n =   0 < r < 1

Perbandingan Bertingkat

Perbandingan adalah membandingkan 2 nilai atau lebih dari suatu besaran yang sejenis dan dinyatakan dengan cara sederhana.

Persentase adalah pecahan dengan penyebut sama dengan 100 atau sering disebut perseratusan. Dalam kehidupan sehari-hari, persentase sering digunakan dalam masalah aritmetika social, statistika, dan lain sebagainya.

Perbandingan senilai adalah perbandingan 2 besaran dimana jika suatu besaran semakin besar, maka besaran yang lainnya juga akan semakin besar dan sebaliknya.

Besaran 1	Besaran 2
a	p
b	q

Perbandingan senilai  atau a.q = b.p

Perbandingan Berbalik Nilai

Adalah perbandingan 2 besaran dimana jika 1 besaran semakin kecil maka besaran yang lain akan semakin kecil, dan sebaliknya.

Besaran 1	Besaran 2
a	p
b	q

Perbandingan berbalik nilai  atau

Persentase

Adalah suatu angka yang dinyatakan dalam bentuk pecahan perseratus dengan lambang satuan %. Rumus menentukan persentase :

Persentase = nilai perbandingan x 100% atau  x 100%

Persentase Untung dan Rugi

1.    Menentukan persentase untung dan rugi terhadap angka pembelian

a.    Persentase untung dari harga beli =   x 100% atau

%U =   x 100%, dengan J< B.

b.    Persentase rugi dari harga beli =   x 100% atau

%R =   x 100%, dengan J > B.

2.    Menghitung harga jual dan harga beli

Untuk menghitung harga jual :

a.    Pedagang dalam kondisi untung : J = B +

b.    Pedagang dalam kondisi rugi : J = B -  

Untuk menghitung harga beli :

a.    Pedagang dalam kondisi untung : B =  

b.    Pedagang dalam kondisi rugi : B =  

Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Melibatkan Konsep Perbandingan Bertingkat dan Persentase

1.    Masalah pesentase kenaikan dan penurunan nilai

a.    Persentase kenaikan nilai

Dihitung berdasarkan perbandingan nilai kenaikna dengan nilai semula (nilai referensi) sebelum adanya kenaikan.

Langkah-langkah menghitung persentase kenikan nilai :

·         Ketahui nilai semula sebelum kenaikan

·         Ketahui nilai kenaikan

·         Hitung perbandingan nilai kenaikan terhadap nilai semula

·         Kalikan hasil langkah 3 dengan angka 100%

b.    Persentase penurunan

Dihitung berdasarkan perbandingan nilai penurunan dengan nilai semula sebelum adanya penurunan.

Langkah-langkah menghitung persentase penurunan :

·         Ketahui nilai sebelum penurunan

·         Ketahui nilai penurunan

·         Hitung perbandingan nilai penurunan terhadap nilai semula

·         Kalikan hasil langkah 3 dengan 100%

2.    Masalah Tabungan

Penentuan bunga tabungan telah diselaraskan oleh Bank Indonesia dengan ketentuan sebagai berikut :

a.    Bunga tabungan adalah bunga tunggal

b.    Bunga dihitung secara harian

c.    1 bulan dihitung 30 hari dan 1 tahun 360 hari

                   Rumus menghitung bunga :

       Bunga :  x   x Modal atau secara matematis     ditulis B =   dengan h = banyak hari menabung, p = persentase bunga              dan m = modal.

                   Bunga tabungan di bank seluruh RI menganut bunga tunggal.

3.    Masalah Koperasi

Khususnya soal pinjaman uang di koperasi simpan pinjam menganut                  pembayaran bunga sesuai dengan rumus diatas, yaitu B =  

4.    Masalah bunga tunggal

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menghitung bunga tunggal :

a.    Uang yang dipinjamkan = modal = M

b.    Uang tambahan yang dibayarkan untuk pengguna yang lainnya (modal) = bunga = b.

Rumus yang sering digunakan untuk menulis hubungan antara modal (M),     suku bunga = b%, jangka waktu = n tahun, dan bunga tunggal (BT)

a.    BT =

b.    M =

c.    b =

d.    n =

Bila dihubungkan dengan modal baru (M_n), diperoleh M_n = M + BT dan dapat ditulis : M = M +   atau M =   ( b x n + 100 )

5.    Masalah Pajak

Perhitungan pajak (P) dapat dilakukan seperti menghitung persentase dari nilai keseluruhan.